Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks diperkenalkan dan digunakan atas dasar kebutuhan. Seperti halnya bilangan negatif yang juga ada karena kebutuhan (sebelum bilangan negatif ada, orang kesulitan untuk melakukan perhitungan 3 mangga – 5 mangga ??). Maka didefinisikan bilangan negatif ini ke arah kiri dari garis bilangan. Sehingga garis bilangan (riil) lengkaplah sudah, dari negatif tak terhingga ke positif tak terhingga, yang di dalamnya terdapat bilangan-bilangan genap (seperti -4; 26; dst), di antara bilangan genap terdapat bilangan pecahan (seperti \frac{1}{4}; \frac{-4}{27}; dll), juga bisa ditemukan bilangan-bilangan irrasional (seperti \pi dan lainnya).

Pada suatu kesempatan terdapat persamaan x^2+1=0, bagaimana solusinya ?. Jika kita mencarinya di garis bilangan yang diceritakan di paragraf di atas, kita tak akan menemukan solusinya untuk x^2=-1, tidak percaya ?..cobalah sendiri.

Untuk tetap mendapatkan solusi atas permasalahan ini, diperkenalkanlah sebuah satuan imajiner menggunakan simbol j (atau juga digunakan i), yang ekuivalent dengan j=\sqrt{-1}. Secara geometris, karena garis bilangan riil tidak boleh ditempati oleh satuan imajiner, diperkenalkan garis bilangan yang vertikal ke atas (positif) dan ke bawah (nilai imajiner negatif).

sumbuSetelah himpunan/set bilangan baru ini diperkenalkan seperti di atas, dilanjutkan dengan perkenalan operator atau operasi bilangan, bagaimana bilangan-bilangan imajiner tersebut dijumlahkan, dikurangi, dikalikan dan dibagi.

Penjumlahan bilangan imajiner satu dengan lainnya dilakukan seperti pada bilangan riil, menggunakan garis bilangan imajiner, penjumlahan berarti bergeser ke arah positif (ke arah atas), sedangkan pengurangan ke arah sebaliknya, arah bawah. Misalnya:  2j + 4 j = 6j, dan 2j-4j = -2j.

Perkalian dua bilangan imajiner : 2j \times 4j = 8j^2 = -8, sesuai dengan definisi j.

Dan pembagian bilangan imajiner: \frac{1}{j}=\frac{1}{j}\times\frac{-j}{-j}= -j, (karena j\times(-j)=1)

Pertanyaan berikut ini menarik untuk ditindak lanjuti: Apakah bisa digabung bilangan riil dan bilangan imajiner ? Ya, gabungan keduanya disebut juga bilangan kompleks, contohnya z_1=2+j3, atau z_2=-4-j, kedua bilangan kompleks ini terletak di bidang Gauss, yaitu bidang yang didefinisikan di gambar garis bilangan yang saling tegak lurus di atas.

sumbu2

Kedua bilangan kompleks ini diletakkan di atas bidang Gauss seperti meletakan titik pada kordinat kartesian. Di gambar di atas juga terlihat informasi lain, dalam bentuk kordinat polar (\rho:besar dari bilangan kompleks dan \varphi: sudut atau phasa).

Pada bilangan kompleks pertama z_1, bisa dilakukan perhitungan dengan aturan Pythagoras,

\rho_1=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}=3.61, dan \varphi_1=\tan^{-1}(3/2)=56.31^o

Bilangan kompleks kedua z_2:

\rho_2=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{17}=4.12, dan \varphi_2=180^o+\tan^{-1}(|-1|/|-4|)=194.04^o

Dalam perhitungan bilangan kompleks dalam bentuk kartesian (komponen riil dan komponen imajiner) ke bentuk polar (komponen besar dan komponen phasa ), atau kebalikannya terdapat hubungan yang sangat menarik, yaitu

z=x+jy = \rho( \cos\varphi + j \sin \varphi) : = \rho\,\,e^{j\varphi}

Bagian terakhir diperkenalkan oleh Euler (Euler’s relation): e^{j\varphi}=\cos\varphi + j \sin \varphi.

Sehingga bilangan kompleks bisa dituliskan dengan dua cara, yaitu secara komponen riil – imajiner dan secara nilai mutlak -phase, lengkapnya

z_1=2+j3 = 3.61 e^{j 56.31^o} ,  dan z_2=-4-j = 4.12 e^{j 194.04^o}.

Penulisan bilangan kompleks secara komponen riil – imajiner digunakan jika dua bilangan kompleks saling dijumlahkan (atau saling mengurangi),

z_1 + z_2 = 2 + j3 -4 - j =-2 + j2 atau z_1 - z_2 = 2 +j3 - (-4 - j) = 6 + j4

Sedangkan perkalian atau pembagian bilangan kompleks lebih mudah dilakukan dengan bentuk polar

z_1\times z_2=  3.61 e^{j 56.31^o} \times 4.12\,e^{j 194.04^o}= 3.61\times 4.12 e^{j (56.31^o+194.04^o)}= 14.87 \,e^{j 250.35^o}

\frac{z_1}{z_2}= \frac{3.61\,e^{j 56.31^o}}{4.12\,e^{j 194.04^o}}= \frac{3.61}{4.12} e^{j (56.31^o-194.04^o)}  =0.88 \,e^{-j 137.73^o}

Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks secara geometris bisa dipandang seperti pada penjumlahan/pengurangan vektor.

Sedangkan perkalian dua bilangan kompleks : komponen nilai membesar sesuai dengan faktor pengalinya, sedangkan phasa/sudut berputar melawan jarum jam sejauh phasa pengali nya.

Pembagian secara analogi: komponen nilai mengecil sesuai dengan faktor pembaginya, sedangkan sudutnya berputar ke arah negatif (searah jarum jam) sesuai dengan phasa pembaginya.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Tag Cloud

%d bloggers like this: