Polinom Hurwitz

Polinom Hurwitz (dinamakan berdasarkan Adolf Hurtwitz) -> publikasi asli Hurwitz hurwitz_paper

Sebuah polinom rill  N(s), dengan

N(s)=a_n s^n + .. + a_2 s^2 + a_1 s + a_0,

yang memiliki akar-akarnya r_i, (yang mana N(r_i)=0), dinamakan polinom Hurwitz, jika komponen riil dari akarnya bernilai negatif (berada di sebelah kiri dari bidang Gauss), atau

Re(r_i) < 0

Polinom Hurwitz digunakan pada sistim untuk memastikan suatu sistim stabil secara asimtotis. Jika penyebut dari fungsi sistim (fungsi transfer) merupakan polinom Hurwitz, maka sistim ini stabil.

Syarat Re(r_i) < 0 terpenuhi (pada a_n=1) jika semua koefisien bernilai positif (a_i>0).

Kriteria Hurwitz diformulasikan dengan perhitungan determinan dari matriks Hurwitz dan matriks bagiannya.

Matriks Hurwitz:

\left(\begin{array}{ccccc} a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}&a_{n-7}&...\\ a_n&a_{n-2}&a_{n-4}&a_{n-6}&..\\ 0&a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}&..\\ 0&a_n&a_{n-2}&a_{n-4}&..\\ ..&..&..&..&..\end{array}\right)

Jika determinan dari matriks ini dan matriks bawahnya positif (artinya positif definit) maka polinom Hurwitz.

Contoh: Apakah polinom berikut polinom Hurwitz ?
a) s^3+s^2+s+1
b) s^3+2s2+s+1

Jawaban:
a) n=3
|a_2| = 1
\left|\begin{array}{cc} a_{n-1}&a_{n-3}\\ a_n&a_{n-2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 1&1\\ 1&1\end{array}\right|=0
\left|\begin{array}{ccc} a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}\\ a_n&a_{n-2}&a_{n-4}\\ 0&a_{n-1}&a_{n-3}\end{array}\right|=0
bukan polinom Hurwitz

b)
|a_2| = 2
\left|\begin{array}{cc} a_{n-1}&a_{n-3}\\ a_n&a_{n-2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 2&1\\ 1&1\end{array}\right|=2
\left|\begin{array}{ccc} a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}\\ a_n&a_{n-2}&a_{n-4}\\ 0&a_{n-1}&a_{n-3}\end{array}\right|=2
polinom Hurwitz

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Tag Cloud

%d bloggers like this: